Solusi KTOM Bulan November 2023 No. 9 Bagian A

 \begin{document}

Diketahui \(P(x)=x^3-3x-1\), dengan solusinya adalah \(a,b,\) dan \(c\). Maka berdasarkan rumus Vietta

\begin{align*}

    a+b+c &= 0 \\

    ab+bc+ac &= -3 \\

    abc &= 1

\end{align*}

Kita ingin menghitung

\begin{align*}

    \frac{a}{b(a+b)} + \frac{b}{c(b+c)} + \frac{c}{a(a+c)} &= \left(\frac{1}{b} - \frac{1}{a+b}\right) + \left(\frac{1}{c}- \frac{1}{b+c}\right) + \left(\frac{1}{a}- \frac{1}{c+a}\right) \\

    &= \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) - \left(\frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{a+c}\right) \\

    &= \frac{ab+bc+ac}{abc} - \frac{(b+c)(a+c) + (a+b)(a+c)+ (a+b)(b+c)}{(a+b)(b+c)(a+c)} \\

    &= \frac{ab+bc+ac}{abc} - \frac{(a^2+b^2+c^2) + 3(ab+bc+ac)}{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c) + 2abc - (a^3+b^3+c^3)}

\end{align*}

Sekarang, kita harus menentukan terlebih dahulu nilai dari

\begin{align*}

    a^2+b^2+c^2 &= (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ac) \\

    &= 0-2(-3) \\

    &= 6

\end{align*}

dan

\begin{align*}

    a^3+b^3+c^3 &= (a+b+c)^3 - 3(ab+bc+ac)(a+b+c)+3abc \\

    &= 0-3\cdot (-3)\cdot 0 + 3\cdot 1 \\

    &= 3.

\end{align*}

Dengan demikian diperoleh

\begin{align*}

    \frac{a}{b(a+b)} + \frac{b}{c(b+c)} + \frac{c}{a(a+c)} = \frac{-3}{1} - \frac{6+3\cdot (-3)}{2+6\cdot 0 - 3} = -6.

\end{align*}

\end{document}