\begin{document}
Diketahui \(P(x)=x^3-3x-1\), dengan solusinya adalah \(a,b,\) dan \(c\). Maka berdasarkan rumus Vietta
\begin{align*}
a+b+c &= 0 \\
ab+bc+ac &= -3 \\
abc &= 1
\end{align*}
Kita ingin menghitung
\begin{align*}
\frac{a}{b(a+b)} + \frac{b}{c(b+c)} + \frac{c}{a(a+c)} &= \left(\frac{1}{b} - \frac{1}{a+b}\right) + \left(\frac{1}{c}- \frac{1}{b+c}\right) + \left(\frac{1}{a}- \frac{1}{c+a}\right) \\
&= \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) - \left(\frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{a+c}\right) \\
&= \frac{ab+bc+ac}{abc} - \frac{(b+c)(a+c) + (a+b)(a+c)+ (a+b)(b+c)}{(a+b)(b+c)(a+c)} \\
&= \frac{ab+bc+ac}{abc} - \frac{(a^2+b^2+c^2) + 3(ab+bc+ac)}{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c) + 2abc - (a^3+b^3+c^3)}
\end{align*}
Sekarang, kita harus menentukan terlebih dahulu nilai dari
\begin{align*}
a^2+b^2+c^2 &= (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ac) \\
&= 0-2(-3) \\
&= 6
\end{align*}
dan
\begin{align*}
a^3+b^3+c^3 &= (a+b+c)^3 - 3(ab+bc+ac)(a+b+c)+3abc \\
&= 0-3\cdot (-3)\cdot 0 + 3\cdot 1 \\
&= 3.
\end{align*}
Dengan demikian diperoleh
\begin{align*}
\frac{a}{b(a+b)} + \frac{b}{c(b+c)} + \frac{c}{a(a+c)} = \frac{-3}{1} - \frac{6+3\cdot (-3)}{2+6\cdot 0 - 3} = -6.
\end{align*}
\end{document}
